معمای ریاضی و جذاب دزدان دریایی و تقسیم سکه ها و حل آن Five Pirates

**دانه کولانه** · #1 03-19-2012

معمای ریاضی و جذاب دزدان دریایی و تقسیم سکه ها و حل آن Five Pirates

۵ دزد دریایی که از ۵ تا ۱ به شکل نزولی شماره گذاری شده‌اند. عالی رتبه‌ترین دزد دریایی این حق را دارد که طریقه‌ تقسیم ۱۰۰ سکه‌ طلا را بین آنها پیشنهاد کند. اما دیگر دزدهای دریایی به طرحش رای می‌دهند، و اگر کمتر از نصف آنها موافقت خود را اعلام کنند، او کشته خواهد شد. او چگونه باید طلاها را سهم کند به طوری که سهم خود را به بالاترین سطح رسانده اما زنده بماند تا از سهمش لذت ببرد؟
(در منابع مختلف در مورد اینکه ارائه دهنده ی سیستم تقسیم ایا حق رای به خود را دارد یا خیر تفاوت هایی هست بنابراین این مساله حداقل 2 نگارش و 2 جواب ممکن است داشته باشد )

این مساله رو به این خاطر در این بخش مطرح کردم چون مبتنی بر تئوری بازی ها و homo economicus (انسان اقتصادی ) هست.
از مسائل قدیمی و زیبای ریاضی هست که چند نگارش و صورت مختلف داره که جلوتر در موردش صحبت خواهیم کرد .

این مساله بسیار زیباست از طریق یکی از دوستان متن سوالات آزمون استخدامی گوگل به دستم رسید که این سوال یکی از سوالهاش بود
که انصافا تیپ طرح سوالات گوگل به طرز وحشتناکی عالی و لذت بخش بود که در جای خود به اون هم میپردازیم. درگیری با این سوال و حل اون و تصحیح اشتباهات قبلی در پاسخ های شخصی چندان لذت بخش و هیجان انگیز بود که واقعا از 11 شب تا 5 صبح با اون درگیر بودم و لذت میبردم
حالا که میخوام در موردش بنویسم و حلش رو ارائه کنم مدام از خودم میپرسم این مساله خیلی ساده س حلش یک دقیقه س چرا تو تا صب درگیرش بودی و الکی گیر داده بودی بهش ! به هر حال من چند ساعت ازش لذت بردم امیدوارم شما هم کلی ازش لذت ببرید .

**دانه کولانه** · #2 03-19-2012

صورت ساده و خودمانی سوال : 5 دزد دریایی داریم که دزد شماره 5 از همه ارشدتر هست و بازی با او شروع میشود اگر کشته شود بازی با دزد شماره 4 ادامه پیدا میکند و به همین ترتیب ...
فعلا هر کسی که ارشد باشد اجازه دارد که یک سیستم تقسیم 100 سکه طلا رو در بین خودشان مطرح کند شما باید خودتون رو به جای دزد شماره 5 بگذارید و یک سیستم تقسیم ارائه دهید که کشته نشوید و حداکثر سکه ها رو هم به خودتون بدید (کمتر باج بدید)
اما اگر سیستم اشتباهی ارائه کنید از انجایی که دزدان دریایی باهوش هستند ممکن است بعضیهاشون به سیستم شما رای منفی بدهند و اگر بیش از 50 درصد به شما رای منفی بدهند شما کشته خواهید شد و همه ی سکه ها به نفر بعدی میرسه و نوبت اونه که سیستم جدید ارائه کنه .

تذکر : طبق نسخه ویکی پدیا شما اجازه دارید به خودتون رای مثبت بدهید
اما در نسخ دیگه ارائه دهنده اجازه رای دادن به خودش رو نداره
بنابراین مساله رو در هر دو حالت حل کنید و لذت سرشار ببرید ! پاسخ هر دو حالت رو براتون مینویسم اما لذت حل مساله را برای خود محفوظ نگاه دارید و به پاسخ بنده نگاه و حتی نیم نگاه هم نندازید ! .

مساله ی دیگری نیز با همین نام موجود هست که چندان مرتبط به این بحث نیست و صرفا حل یک معادله ریاضیه اما اگه حوصله داشتید میتونین اون رو هم حل کنید : (صورت این سوال در پستهای بعدی نوشته خواهد شد )

------از اینجا به بعد رو بعد از حل مساله بخونین -----------------------------

**دانه کولانه** · #3 03-19-2012

حل مساله و بحث در مورد آن :

این یک بازی با سیستم عقلایی هست یعنی فرض ما و قطعا اقایان دزدهای دریایی این هست که دیگر دزدان کاملا عاقل باهوش و حسابگر هستند یعنی به دنبال بهترین سیستم برای بالاترین سود خود هستند و ما از این مساله اگاهیم و انها هم اگاهند که ما اگاهیم ! . در این مساله امکان صحبت کردن و تبانی و قول و قرار گذاشتن وجود نداره .

نگارش اول : هر کس میتواند به خودش رای بدهد

نفر شماره یک (یعنی اخرین نفر که کمترین اولویت را دارد) به خود میگوید اگر سیستم رای دادن های من و بقیه طوری باشد که همگی کشته شوند و تمام سکه ها به نفر شماره دو برسد ابدا برای من سودی نخواهد داشت زیرا وی به خود رای مثبت داده و من حتی اگر به او رای منفی هم بدهم او کشته نمیشود و تمامی 100 سکه را ازآن خود خواهد کرد بنابراین نفر شماره یک (که از این به بعد بهش میگیم نفر اول) هیچ گاه دوست ندارد که بازی به دست نفر دوم بیفتد پس سعی میکند رای دادنش به نفر سوم و چهارم و پنجم طوری باشد که سودش را در مرحله ی آنها کسب کند
پس پیش خود اینگونه قرار میگذارد که اگر بازی در دست نفر سوم بود باید به نسبت حالت قبل (یعنی بازی در دست نفر دوم که هیچ سودی در ان نبود) حداقل یک سکه از او رشوه بگیرد تا رای.ش را به او بفروشد . بنابراین نفر سوم خودش به خودش رای میدهد رای نفر اول را نیز دارد پس برنده میشود بگذارید همینجا سیستم پیشنهادی نفر سوم را نیز حدس بزنیم :
او که از نیات نفر اول باخبر است (بر اساس قاعده عقلایی بودن بازی) به او یک سکه و به نفر دوم هیچ سکه میدهد و خودش نیز به خودش رای مثبت میدهد و کشته نمیشود .

پس اگر بازی به دست نفر سوم برسد انگاه نفر اول باید حداقل یک سکه از او برای چرب کردن سبیلهایش بگیرد حال نفر اول به ادامه تفکرات شوم خودش میپردازد که از نفر چهارم و پنجم چقدر میتوانم رشوه بگیرم ؟
او می آید فرض میکند که بازی در دست نفر چهارم است :
چهارمی سیستم 99-0-1-0 را پیشنهاد میدهد و هیچکاه کشته نمیشود زیرا او با دادن یک سکه به نفر دوم رایش را خریده و خودش نیز به خودش رای میدهد بنابراین 50 درصد رای مثبت دارد و کشته نمیشود حال چرا نفر دوم با یک سکه راضی میشود ؟ به این خاطر که همانطور که در حالت قبل گفته شد اگر بازی در دست نفر سوم باشد انگاه نفر دوم کوفت هم گیرش نمی افتد ! بنابراین باید از خدایش هم باشد که یک سکه از نفر چهارم عاید شود . پس که نفر چهارم که بسیار زرنگ هم هست تنها با یک سکه رشوه دادن به نفر دوم شرایط را به نفع خود تثبیت کرده و کشته نمیشود و در سواحل جزیره ای که سکه ها پیدا شده جت اسکی سوار میشود و به نفر اول کوفت هم نمیدهد !
پس نفر اول ابدا دوست ندارد بازی به دست نفر چهارم بیفتد زیرا اگر دست سومی بود حداقل 1 سکه گیرش افتاده بود بنابراین امیدش این است که آن یک سکه ی خیالی یا بیشتر از آن را لااقل از نفر پنجم کاسبی کند ! .
بنابراین به طور خلاصه سیستم های پیشنهادی فعلی را تا الان را مینویسیم که یادمان باشد :

100 - 0

99 -0 - 1

99 -0-1-0 (که یعنی سیستم پیشنهادی نفر چهارم اینگونه است که 99 تا برای خود بر میدارد و به نفر دوم هم یک سکه میدهد )

حال نفر اول که خیلی در فکر سکه هاست به این فکر میکند که اگر بازی در همان ابتدا که در دست نفر پنجم است تمام شود چند سکه باید طلب کند که رایش را به او بفروشد ؟
خب خیلی ساده به خودش میگه که اگر خدای نکرده نفر پنجم بمیره انگاه نفر چهارم همانطور که دیده شد هیچ سکه ای به او نمیده پس چه بهتر که یک سکه از نفر پنجم رشوه بگیرم و رایم را به او بفروشم

بنابراین نفر پنچم که به همراه رای خودش 2 رای دیگر را نیاز دارد باید سیستمی را پیشنهاد دهد که دو نفر به نسبت سیستم
99 - 0 - 1 - 0 قبلی , سود کنند خب بهترین حالت خریدن رای نفر اول و سوم است زیرا هر کدام با یک سکه راضی میشوند (اما نفر دوم با 2 سکه و نفر چهارم با 100 سکه ! راضی میشوند)

بنابراین سیتستم پیشنهادی نفر پنجم که در واقع جواب سوال ما نیز هست 98 - 0 - 1 - 0 - 1 خواهد بود و قطعا نفر اول و سوم به او رای خواهند داد زیرا اگر نفر پنجم بمیرد و چهارمی سردمدار شود اینها هیچ سکه ای نخواهند گرفت .

پس جواب مساله در این سیستم
98 - 0 - 1 - 0 - 1 خواهد بود

نگارش دوم: هیچ کس نمیتواند به خودش رای بدهد

باز هم نفر اول آتیش بیار معرکه س و هی برای خود مینشیند و حساب کتاب میکند که اگر چه کسی رای بیاورد سرش بی کلاه میماند و اگر چه کسی رای بیاورد بیشترین سود را خواهد داشت

برخلاف دفعه قبل اینبار شخص شماره یک بسیار دوست دارد که بازی به نفر دوم برسد زیرا در این حالت با دادن رای منفی به او باعث میشود 100 درصد رای های داده شده به نفر دوم منفی باشد (چون نفر دوم نمیتواند به خودش رای بدهد طبق فرض مساله) و نفر دوم کشته و تمام صد سکه به نفر اول برسد
از همین رو نفر دوم بخت برگشته تمام سعی خود را میکند که در این بازی کثیف اصلا نوبت به او نرسد زیرا حفظ جان ارجح تر سکه های طلاییه که توی یه جزیره داشته باشی پس وی تمام سعی خود را خواهد کرد که بازی در نفر سوم متوقف شود و نفر سوم را هیچکاه با رای.ش نکشد زیرا رسما موجبات مرگ خودش را فراهم اورده !
و نفر سوم که از بیچارگی نفر دوم خبر دارد در سیستم تسهیم سکه هایش صرفا سهم "کوفت" را برای نفر دوم در نظر میگرد یعنی هیچی به او نمیدهد چون میداند که وی مجبور است در هر حال به او رای دهد
و جالبتر انکه حتی برای نفر اول هم سهم کوفت را در نظر میگرد ! زیرا وی با تنها رای مثبت نفر دوم برنده بازی خواهد بود و اهمیتی ندارد که اولی چه بگوید !
حال نفر دوم و نفر اول پیش خود فکر میکنند که اگر نفر چهارم برنده باشد وضعیت این دو به چه صورت خواهد بود ؟
بگذارید نگاهی به خلاصه تقسیم بندی های فعلی داشته باشیم

100 - 0 که تبدیل به 0 - 100 میشود !
100 - 0 - 0
بنابراین نفر اول اگر بتواند از نفر چهارم 1 سکه بگیرد راضی است و نفر دوم اگر بتواند یک سکه بگیرد راضی میشود

پس نفر چهارم سیستم

98 - 0 - 1 - 1

را ارائه میدهد و برنده بازی خواهد بود

اما بازی با نفر پنجم شروع میشود پس تمامی 4 نفر اول باید سعی کنند بیشترین سود را در این مرحله کسب کنند
بنابراین پنجمی در سیستم خود باید رای حداقل 2 نفر را داشته باشد نفر سوم با یک سکه راضی میشود نفر دوم با 2 سکه و نفر اول هم با 2 سکه حال اگر شما بودید کدامیک 2 نفر از این 3 نفر را انتخاب میکردید ؟
اینکه نفر سوم با یک رای به راحتی خریده میشود محرز است و با خریدن نفر بعدی از میان دومی یا اولی میتوان سهم این دیگری که انتخاب نشده را نیز صفر کرد زیرا که 2 رای خود را خریده و خیال خود را راحت کرده ایم

بنابراین بازی با یکی از دو حالت زیر تمام میشود

97 - 0 - 1 - 2 - 0
97 - 0 - 1 - 0 - 2

شما کدام را انتخاب میکنید ؟

**دانه کولانه** · #4 03-19-2012

توضیحات اضافی بعدی و تکمیل و یا تصحیح احتمالی چند ساعت دیگه انجام خواهد گرفت .

**bigbang** · #5 04-25-2012

معمای جالب بیل گیتس برای استخدام در مایکروسافت

این معما را بیل گیتس در سال ۲۰۰۲ طراحی کرد تا از بین ۱۰۰ مهندس یکی را برای شرکتش انتخاب کند.

دو اتاق در مجاورت هم قرار دارند. هر کدام یک در دارند ولی هیچکدام پنجره ندارند. درهایشان که بسته باشد درون اتاقها کاملا تاریک است. در یک اتاق سه چراغ برق به توانهای ۱۰۰، ۱۱۰ و ۱۲۰ وات و در اتاق دیگر سه کلید برق مثل هم وجود دارد.( لطفا به شکل زیر نگاه کنید)

ما نمیدانیم کدام کلید کدام چراغ را روشن میکند( مثلا نمیدانیم آیا کلید وسطی مربوط است به چراغ وسطی یا به چراغهای دیگر اما بطور قطع میدانیم که هر کدام از کلید ها یکی از چراغها را روشن میکند. همچنین ترتیب چراغها را هم نمیدانیم ). شما معلوم کنید که هرکلید مربوط به کدام چراغ است. برای اینکار و در شروع، شما باید در اتاق کلیدها باشید و کار را از آنجا شروع کنید. شما میتوانید هر چند مرتبه که بخواهید کلیدهارا روشن و خاموش کنید. اما شما تنها هستید و نمیتوانید از کسی کمک بگیرید وهیچگونه وسیله ای هم خواه برقی خواه غیر برقی بهمراه ندارید و مهمتر از همه اینکه شما حق ندارید بیش از یکبار وارد اتاق چراغها شوید و وقتیکه وارد شدید و بیرون آمدید، دیگر نمیتوانید مجددا وارد آن اتاق بشوید.

حال بفرمایید که هر کلید کدام چراغ را روشن می کند؟

توجه داشته باشید که اگر هم نتوانستید این معما را حل کنید ، از خودتان نا امید نشوید . هر چه باشد این سوال برای انتخاب یک نفر از بین عده زیادی مهندس باهوش طرح شده و خیلی از آنها هم نتوانستند آن را حل کنند . اما وقتی این مسئله را حل کردید و یا پاسخ آن را به هر نحو فهمیدید چیزهای زیادی خواهید آموخت . که ارزش آموختن را دارد .