فراکتال و کاربرد آن در موسیقی

[SHeRvin]

فراکتال و کاربرد آن در موسیقی

همواره افرادی بر این عقیده بوده اند که موسیقی از دسته ی علوم ریاضی بشمار میرود و گرچه نوع بیان موسیقی و ریاضی با یکدیگر متفاوت بوده اما روح و حقیقتی که در موسیقی وجود دارد، در ریاضیات قابل مشاهده است؛ بنابراین همواره وجود داشته اند افرادی که بخواهند ریاضیات و موسیقی را به زبان دیگری تعریف کرده و یا از این علوم قدرتمند جهت غنا بخشیدن به دیگری استفاده کنند. آن طور که در تاریخ آمده شروع بررسی موسیقی از دیدگاه ریاضی به یونان باستان بازمیگردد و فیثاغورثیان در پانصد سال قبل از میلاد، اولین افرادی بودند که فواصل موسیقی را متناسب با اعداد بیان کرده و ارتباط موسیقی و ریاضیات را توجیه کردند.

از آن زمان تا کنون بکارگیری و بررسی ریاضیات در موسیقی در طی دورانها و زمانهای مختلف پیگیری شد و در حال حاضر نیز ریاضیات بطور گسترده در تشریح، آنالیز و ساخت موسیقی استفاده میشود؛ مثلآ از روابط ریاضی در الگوریتمهای آهنگسازی برای یافتن صداهای مناسب برای کوک کردن سازها کمک میگیریم و یا در جای دیگر برای ساخت یک آهنگ از ریاضی استفاده میشود. باید گفت این موارد نمونه های کوچکی از کاربردهای ریاضیات در موسیقی است. سیستمهایی که رابطه موسیقی و ریاضی را شرح میدهند اساسآ در قرن بیستم توسعه یافتند.

از این میان میتوان به سیستم آهنگسازی جوزف شیلینگر (Joseph Schillinger) و متد ساخت آهنگ از اولیور مسیان (Olivier Messiaen) در سال 1940 اشاره کرد. از آن زمان به بعد متدهای جدیدتر در این زمینه بیشتر بر اساس فراکتالها بودند که با استفاده از آنها افق تازه ای برای ساخت نغمات جدیدتر برای آهنگسازان ایجاد شد.

فراکتال
واژه Fractal از کلمه لاتین Fractus یعنی (شكسته) گرفته شده و در لغت به معنی سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد. یکی از مهمترین خصوصیات فراکتالها خود متشابه بودن آنهاست به این معنی که فراکتالها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد؛ شکل گل کلم و سرخس معروفترین مثالهایی است که برای تعریف فراکتال ارائه میشود.

برای ملموس تر شدن موضوع اجازه دهید کمی از این هندسه زیبا را در اطرافمان بیابیم: ساختارهای فراکتالی در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل ساختمان دانه های برف، شكل كوه ها، ابرها و شكل ريشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگهای آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتریها و سیستم عروق خونی وغیره دیده میشوند و با آنها میتوان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد.

موارد کاربرد فراکتالها آنچنان زیاد است که حتی نمیتوان لیستی از آن ارائه داد. چند مورد از کاربرد های روزمره با فراکتال ها: مثلآ در کامپیوتر (برای فشرده کردن تصاویر یا پردازش تصاویر)، فیزیک (آنتن های گوشی موبایل)، پزشکی (برای تفسیر نوار قلبی و پیش بینی رفتار بدن)، معماری و شهرسازی، اقتصاد، شیمی، پیش بینی وضع هوا، زمین شناسی و حرکت گسل ها و بسیاری از مواد دیگر؛ همچنین میتوان رد پای فراکتال ها را در خلق آثار هنری جست و با استفاده از آنها ایده های بدیع و زیبایی خلق نمود. در اینجا شرح مختصری از چیستی فراکتال و چگونگی ارتباط آن با موسیقی آهنگسازی را شرح میدهیم.

در سال 1970 دو دانشمند به نامهای ریچارد واس (Richard Voss) و جان کلارک (John Clarke) از دانشگاه کالیفرنیا به این موضوع پی بردند که موسیقی با یک حالت الگوریتمی (یعنی یک روال گام به گام کلی برای همه نمونه ها) بسط میابد و لذا از یک فرمول ریاضی میتوان برای ساخت یک آهنگ استفاده کرد. همچنین آنها کشف کردند که انواع مختلف موسیقی از یک الگوی همانند پیروی میکنند.

از سوی دیگر نیز در همان سال (1970) بنویت مندلبرت (Benoit Mandel brot) شروع به انجام تحقیقاتش روی فراکتالها کرده بود. این مسئله بسیاری از موزیسین ها و ریاضیدان ها را ترغیب به مطالعه روی این موضوع نمود. در سال 1975 مندلبرت واژه فراکتال را وارد دنياي رياضي کرد. از دیگر کارهای با ارزش مندلبرت این است که او با استفاده از کامپيوتر فرکتال‌ها را به تصوير کشيد.

[SHeRvin]

فراکتال و کاربرد آن در موسیقی (II)

مندلبرت، پدر هندسه ی فراکتالی، فراکتال را بدین صورت تعریف میکند: "یک شکل فراکتالی مجموعه ای از اشکال در هم پیچیده و مجزاست بطوریکه اگر یک قطعه از آن را بزرگ کنیم، شکل حاصل همانند شکل نخستین در خواهد آمد و همچنین با احتمالی اندک بدشکل و بیریخت خواهد شد"

اساس ساخت فراکتال همان چیزی است که در ریاضی به آن تکرار میگوییم. هر گاه روی یک معادله غیرخطی تکرارپذیری صورت گیرد میتوان به یک شکل فراکتالی رسید. الگوریتم این کار به این صورت خواهد بود:

1- یک ورودی (x) را به تابع بدهید.

2- جواب تابع را برحسب ورودی داده شده به آن حساب کنید

(f(x) =y1)

3- جواب بدست آمده از مرحله قبل (y1) را مجددآ به عنوان یک ورودی جدید درون همان تابع جایگزین کنید

(y2=f(y1))

4- برای بدست آوردن مقادیر بعدی، مرحله سوم را به ازای اندیس های بعدی، تکرار کنید.

تا بدین جا توانستیم بصورت خیلی ساده برای فراکتالی که به روش تکرار روی تابع دلخواه (f) تولید میشود، مقادیر خروجی را بدست آوریم. حال اگر قرار باشد این فراکتال را روی صفحه نمایش در یک کامپیوتر داشته باشیم، باید بین خروجی های عددی و پیکسل های صفحه نمایش، یک تناظر (نگاشت) ایجاد نماییم. در نهایت بسته به دقتی که روی مقادیر ورودی داشته ایم، شکلی دقیقتر بدست خواهیم آورد؛ در واقع هرچه مقادیر داده شده به تابع در دقتهای کوچکتری باشند، شکل نهایی نیز دقتی بالاتر خواهد داشت.

فراکتالها اشکال هندسی عجیبی هستند که قوانین هندسه اقلیدسی را در هم میشکنند و نمیتوان برای توصیف آنها از هندسه اقلیدسی کمک گرفت. در هندسه اقلیدسی اکثر اشکال مثل دوایر، مثلثها، مربع ها و دیگر چند ضلعی ها دارای محیط و مساحتی مشخص و قابل محاسبه هستند و چنانچه به آنها بنگرید، محیط آنها را یک خط یا منحنی میبینید؛ در صورتی که در فراکتال ها چنین نیست.

فراکتالها دارای محیط و مساحتی نامتناهی هستند. زیرا هر چه بیشتر روی محیط یک فراکتال دقت کنید، مقدار بیشتری برآمدگی و منحنی و ناهمواری ها و شکست ها و پیچش های مختلف را در آنها مشاهده میکنید که با وجود این ناهمواری ها و منحنی های بیشمار، محاسبه یک فاصله از دو نقطه روی فراکتال غیرممکن و امری محال است.

از آنجایی که اشکال فراکتالی نامتناهی هستند لذا ترسیم یک فراکتال بصورت کامل و با تمام جزئیات امکان پذیر نمیباشد. باید اضافه کرد که با وجود اینکه نمیتوان شکل دقیقی از یک فراکتال کشید ولی همه ما میتوانیم فراکتال را بصورت تقریبی رسم کنیم. تقریب استفاده شده در یک شکل فراکتالی به عمق فراکتال برمیگردد و در عمق بیشتر، تصویر فراکتالی تقریب زده شده به شکل واقعی نزدیکتر خواهد شد.

انواع اشکال فراکتالی را میتوان در دو دسته کلی جا داد:
• فراکتالهای خودتکرار کننده (self-repeating) که از فرمول های تکرارشونده ساده ای استفاده کرده و اشکالی ساده، مانند برف دانه کخ ( Koch snowflake) و مثلث سرپینسکی (Sierpinski triangle) خواهند داشت. از این گروه میتوان به فراکتالهای تئوری IFS و فراکتال های سیستمهای L یا(L-systems) وGraftals و همانند اینها اشاره کرد.
• فراکتالهای خود متشابه (self-similar) که از نمای کلی شبیه به خود تکرار کننده ها هستند ولی در واقع اجزایی متفاوت از شکل کلی خود دارند؛ همانند مجموعه مندلبورت (Mandelbrot set)

موسیقی فراکتالی
با استفاده از فراکتالها به طرق مختلف میتوان به آهنگسازی و صدا سازی پرداخته و یا حتی از آنها ایده هایی جدید برای یک اثر هنری گرفت. راز نهفته در یک موسیقی فراکتالی همان چیزی است که در ریاضیات به آن نگاشت (map) میگویند.

نگاشت به این معنی است که یک ارتباط مستقیم و متناظر بین خروجی های عددی ( که از معادله حاصل میشوند) و پارامترهای خاصی (که برای ساخت آهنگ بکار میروند)، ایجاد کنیم. همانطور که برای تصویر کردن یک عکس فراکتالی، خروجی های تابع را به پیکسل های صفحه نمایش نگاشت میکردیم، حال باید پارامترهای ساخت آهنگ را به آن خروجی ها نگاشت کنیم.

پارامترهای ساخت آهنگ فراکتالی میتوانند شامل فرکانسها، اوزان، دینامیک و دیگر موارد در آهنگسازی باشند. از آنجا که پارامترهایی که در یک موسیقی فراکتالی بکار میروند بیشتر از یک عکس فراکتالی هستند، میتوان انتظار آهنگهایی متنوع تر نسبت به یک عکس فراکتالی را از یک فرمول واحد داشت. در مقاله بعد بیشتر به این موضوع پرداخته و همچنین نرم افزارهای آهنگسازی با استفاده از فراکتال ها را معرفی خواهیم کرد.