ریاضی و مباحث مرتبط

[رزیتا]

تابع



در ریاضیات ، تابع رابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیم تابع ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند.

تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند. یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولید کند. برای مثال با فرض y=x2 با ورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 را خواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.

به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند x

در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.

فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.

تاریخچه تابع

نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.

چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند.

ورودی تابع

ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z

تعریف روی مجموعه‌ها

یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:

این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است

• این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.

تعریف ساخت یافته تابع

بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.

خواص توابع

توابع می‌توانند:

• زوج یا فرد باشند.
• پیوسته یا ناپیوسته باشند.
• حقیقی یا مختلط باشند.
• اسکالر یا برداری باشند.

توابع چند متغیره

یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال

یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر

و

و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام

در آن وجود دارد.

با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد.

[رزیتا]

انتگرال

• محاسبه انتگرال
• تقریب انتگرالهای معین
• تعریف های انتگرال
• سایتهای مرتبط
• پیوندهای خارجی

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت

نشان می دهند علامت

،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.
از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.



محاسبه انتگرال


اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم .
2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم:

3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر

خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از :

• انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
• انتگرال گیری جزء به جزء
• انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
• انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .



تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند .



تعریف های انتگرال


از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد.
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند:

• انتگرال ریمان
• انتگرال لبسکی
• انتگرال riemann-stieltjes
• انتگرالهای چند گانه
• روشهای انتگرال گیری

[رزیتا]

انتگرال ریمان

• مجموع ریمان :
  • مثال :
• انتگرال ریمان:
  • تعریف انتگرال ریمان:
• همچنین ببینید:

پیدا کردن مساحت
هاشور خورده

همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.
حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از مستطیلها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه

تا

روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.
برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند

را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به

نزدیک خواهد بود.

ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند

بین های

متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت

مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر

تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با

مجموع ریمان:

مجموع مساحت مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم:

تابع:

نقاط شروع و پایان بازه:

و

تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها)

:

با استفاده از مجموع ریمان:

خواهیم داشت:

11.924959 =مقدار دقیق مساحت
11.8740138= مساحت محاسبه شده

بین مجموع ریمان و مقدار دقیق جواب اگر مقایسه ای انجام دهید
در این صورت مقدار خطای با برابر خواهد بود با:

همانطور که مشاهده شد مستطیل ها به صورت رندومی تولید شده اند و تعداد آنها محدود است. حال به نظر شما اگر تعداد مستطیلها یعنی nرا افزایش دهیم و مستطیل ها، حالت منظم به خود بگیرند چه اتفاقی خواهد افتاد.البته توجه کنید که nهای مختلف، مجموع ریمان مختلفی تولید می کنند.

مثال :

می خواهیم مجموع ریمان برای مساحت زیر نمودار منحنی

دربازه

را پیدا کنیم
1) بازه را به 5 قسمت، از

تا

تقسیم می کنیم:
2) عرض مستطیل ها را پیدا می کنیم.

تا

3) نقاط

را در بین

ها برای پیدا کردم ارتفاع مستطیل که برابر با

خواهد بود، قرار می دهیم در این صورت:

تا

4) پیدا کردن مساحت 5 مستطیل:

تا

را پیدا میکنیم.

5) مساحت های بدست آمده را با هم جمع می کنیم:

انتگرال ریمان:

این شکل همگرایی مجموع ریمان
را نشان میدهدهر چه قدر بازه ها کوچکتر
و تعداد مستطیلها بیشتر میشود
مقدار O(حد مجموع بالا)و U (حد مجموع پایین)
به مقدار اصلی مساحت نزدیک خواهد شد.



ممکن است تا اینجا به این نکته رسیده اید که هر چه قدرعددn (یعنی تعداد مستطیلها) بیشتر باشد مجموع ریمان به یک عدد ،همگرا میشود. یعنی حد گرفتن از مجموع ریمان وقتی که n بسیار بزرگ است مساحت زیر نمودار را به ما می دهد.


تعریف انتگرال ریمان:

اگر f تابعی باشد که دربازه

تعریف شده است در این صورت مجموع ریمان تابعf در بازه

وقتی که n به سمت بی نهایت می رود،همگرا به یک مقدار محدود مانند Aخواهد بود.

[رزیتا]

ریمان




گیورک فریدریش بر نهارد ریمان (1826-1866 میلادی) مقارن ولد هندسه نااقلیدسی قدم به عرصه وجود گذاشت. پس از تحصیلات مقدماتی و متوسطه به عزم علوم الهی به دانشگاه گوتینگن روی آورد اما زود دریافت که که آنچه با مذاق وی سازگاری داشت ریاضیات بود نه الهیات ریمان یی از برجسته ترین شاگردان گوس شمرده می شود بعدا به برلن رفت و در محضر استادان دیگری تلمذ کرد و در سال 1840 به گوتینگن بازگشت و در رشته فیزیک درجه علمی رفت.

زریمان در سال 1854 رساله ای تنظیم کرد و در آن خاطرنشان ساخت که هر چند جهان نامحدود است، بی پایان
رفتن آن ضرور نیست.
ان رساله مقدمه هندسه نااقلیدسی جدیدی بود. وی ریاضیات را از قیذ نتها آزاد ساخت و بنیاد هندسه را نیز بر بی نهایت کوچکها گذاشت و هندسه دیفرانسیل را طرح کرد. آزاد ساخت وبنیاد هندسه را نیز بر بی نهات کوچکها گذاشت
و هندسه دیفرانسیل را طرح کرد. پژوهشهای ریمان را هلم هتز و لی و بل ترامی بلیایی و لباچفسکی هر قدر در کار خود پیش رفتند با ناسازگاری دستگاه رو به رو نشدند انما به طور منجز هم سازگار آن را ثابت نکردند. هندسه ریمانی با هندسه بلیایی و لباچفسکی فرق بارز دغاد، مثلا آنان به رسم بیشتر از یک خط به موازات خط معین از نقطه معین قائل بودند، اما ریمان وازی را انکاررد. با این که آنها مجموع زاویه های مثلث را کوچکتر از دو قائمه گرفتند و ریمان بزرگتر از آن.

هندسه نااقلیدسی لیایی و لباچفسکی را هندسه هذلولوی(یپربولیک) و هندسه ریمان را هندسه بیضی (الیپتیک) نامیده اند.

[رزیتا]

انتگرالهای چند گانه

• انتگرال دو گانه
• انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلی
  • قضیه فوبینی (صورت اول):
  • قضیه فوبینی (صورت قوی تر):
• دامنه در انتگرال دو گانه
  • برخی از انواع دامنه‌های منظم در انتگرال دو گانه
• تعویض انتگرال ها ی دوگانه
• ویژگی‌های انتگرال دوگانه
• انتگرال دوگانه درمختصات قطبی
  • تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی
• انتگرال سه‌گانه
  • رابطه بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی
• مباحث مرتبط با عنوان

انتگرال دو گانه

همان‌طور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف انتگرال توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، به نام انتگرال دو گانه ، رهنمون می کند. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال می‌باشد، با این تفاوت که در این نوع انتگرال قلمرو در صفحه دو بعدی

واقع شده است.



انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلی

فرض می کنیم

بر ناحیه ی مستطیلی

زیر تعریف شود:

و فرض می کنیم

با شبکه ای از خطوط موازی با محور های

و

پوشیده شده باشد. مساحت هر کدام از این قطعه های کوچک برابر است با :

این قطعات را شماره گذاری می کنیم و در هر قطعه ای مانند

نقطه ی

را بر می گزینیم و مجموع زیر را تشکیل می دهیم:

اگر

در سراسر

پیوسته یاشد، با کوچک کردن خانه های شبکه یعنی میل دادن

و

به صفر،مجموع مشخص شده در رابطه ی فوق به حدی میل می کند که آن را انتگرال دوگانه ی

روی

می نامیم.
نماد انتگرال دوگانه عبارت است از :

یا

بنابر این:

قضیه فوبینی (صورت اول):

اگر

بر ناحیه مستطیلی

پیوسته باشد، داریم:

قضیه فوبینی (صورت قوی تر):

فرض می کنیم

روی ناحیه ای چون

پیوسته باشد.

1. اگرتعریف
   
   عبارت باشد از :
   
   ،
   
   با این شرط که
   
   و
   
   بر
   
   پیوسته باشد، آنگاه :

1. اگرتعریف
   
   عبارت باشد از :
   
   ،
   
   با این شرط که
   
   و
   
   بر
   
   پیوسته باشد، آنگاه :

دامنه در انتگرال دو گانه

دو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد:

1. دامنه منظم: دامنه‌ای است که هر خط موازی محورهای مختصات محیط آن را حداکثر در دو نقطه قطع کند. مانند مربع ، مثلث ، دایره. در این نوع دامنه تعویض حدود انتگرال نسبتا ساده است.
2. دامنه غیرمنظم: دامنه‌ای که هر خط موازی محورهای مختصات آن را در بیش از دو نقطه قطع کند مانند سطح بین دو دایره یا دو مربع. در این نوع دامنه ها تعویض حدود باید با احتیاط صورت گیرد.

برخی از انواع دامنه‌های منظم در انتگرال دو گانه

1. 
   : این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است.
2. دامنه‌های مثلثی مانند:
   
   و در صورت تعویض انتگرال گیری می‌توان آن را به صورت
   
   نوشت.
3. دامنه‌های دایره‌ای؛ دامنه‌های دایره‌ای در دستگاه دکارتی و قطبی به صورت زیر نوشته می‌شوند:

دایره‌ای که مرکز آن در مبدا مختصات و شعاع آن

باشد.

1. 1. دکارتی:
      
   2. قطبی:
      

تعویض انتگرال ها ی دوگانه



مانند مشتقات جزئی، انتگرال نیز دارای ترتیب است. وقتی انتگرال به صورت

باشد، یعنی باید ابتدا

را ثابت فرض کرده و نسبت به متغیر

انتگرال گرفت و در مرحله دوم نسبت به

انتگرال بگیریم.
چنانچه حدود به صورت

و

باشد می‌توانیم در صورت لزوم

را بر حسب تابعی از

نوشته و حدود

را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار ‌دهیم یا:

و

که در این صورت می‌توان نوشت:

ویژگی‌های انتگرال دوگانه

1. اگر ناحیه بسته و محدود
   
   اجتماع دو ناحیه بسته و محدود
   
   باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع
   
   در ناحیه
   
   برابر است با انتگرال دوگانه تابع
   
   در
   
   بعلاوه انتگرال دوگانه تابع
   
   در
   
   .

1. اگر
   
   و
   
   روی ناحیه بسته و محدود
   
   پیوسته باشند آنگاه انتگرال دوگانه مجموع این دو تابع برابر است با مجموع انتگرالهای هر کدام از این توابع.

1. اگر انتگرال دو گانه
   
   روی
   
   وجود داشته و
   
   عدد حقیقی باشد. آنگاه انتگرال دوگانه
   
   برابر است با حاصلضرب
   
   در انتگرال دوگانه
   
   .

انتگرال دوگانه درمختصات قطبی

گاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن درمختصات دکارتی است.
فرض کنیم ناحیه

در مختصات قطبی، بین دو نمودار هموار

و

محدود شده باشد که در آن

باشد در این صورت انتگرال دوگانه را می‌توان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد:

تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی

برای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی، به جای

،

و

(یا

) به ترتیب

،

و

(یا

) قرار داده و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل می‌کنیم و در نهایت عملیات انتگرال گیری را بر حسب پارامتر های

و

انجام می دهیم.


انتگرال سه‌گانه

انتگرال سه‌گانه در مورد توابع سه متغیره ی حقیقی تعریف می‌شود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی

،

و

است.
در دستگاه ها ی مختصات مختلف، انتگرال سه ‌گانه به صورت زیر نوشته می‌شود:

1. دستگاه مختصات دکارتی:
   
2. دستگاه مختصات استوانه‌ای: همان طور که محاسبه برخی از انتگرال های دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آنها در مختصات دکارتی است، برخی از انتگرال های سه‌گانه نیز در دستگاه غیر دکارتی ساده‌تر محاسبه می‌شوند. یکی از این دستگاههای مختصات، مختصات استوانه‌ای است.

فرض می‌کنیم

مختصات دکارتی نقطه ی P در فضا باشد. اگر

مختصات قطبی نقطه ی

باشد، آنگاه

را مختصات استوانه‌ی

می‌نامیم.


رابطه بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی

[رزیتا]

انتگرال نامعین

• انتگرال نامعین
  • نکته
• انتگرال نامعین
• خواص انتگرال
  • فرمول های انتگرال گیری
• انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری
• انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر
• انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء
• همچنین ببینید

انتگرال نامعین

اگر

پاد مشتق

باشد ، آنگاه

به ازای هر مقدار ثابت

یک پاد مشتق

است.زیرا اگر

آنگاه:

نکته

اگر

جوابی برای

باشد ، فرمول

همه جوابها را به دست می‌دهد.


انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون

را انتگرال نامعین

نسبت به

می‌نامند و با

نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول

همه پادمشتق‌های

را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :

تابع

را انتگرال ده انتگرال و

را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین

نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری

است.


خواص انتگرال

1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر
   
   برابر است با
   
   به علاوه یک ثابت دلخواه.
2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری

,

,

,

,

در این دستور‌ها

یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر

آنگاه

انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند

معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی

را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از

را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون

از دامنه

را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه

را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن

و

در معادله

و حل آن نسبت به

جوابی را یافت که از نقطه

بگذرد.به این ترتیب داریم

یا

.
خم

خمی است که از

می‌گذرد.


انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای

تابع پیوسته و مشتق پذیر

را قرار می دهیم، یعنی :

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای

نسبت به

قرار می‌دهیم . یعنی:

از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور

موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن

توابعی مشتق‌پذیر از

هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا

را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را

فرض می‌کنند.

[رزیتا]

جدول انتگرال توابع گنگ

توجه داشته باشید که :

[رزیتا]

جدول انتگرال توابع لگاریتمی:

[دانه کولانه]

مرسی رزیتا خانم
میتوسنتی موضوع رو مهم کنی ...

[رزیتا]

جوهر و درون‌مایه ریاضیات

دید کلی

ما برای فهم تاریخ واقعی بوجودآمدن و پیشرفت ریاضیات ، منطق دیالتیک را راهنمای خود قرار دادیم. دیالتیک ، بویژه به این علت ما را به نتیجه‌گیری‌های درست می‌رساند که هیچ چیز را به حقیقت تحمیل نمی‌کند، بلکه واقعیت‌ها را همان‌طور که هستند، یعنی رابطه‌ها و پیشرفت‌های ضروری آنها را بررسی می‌کند. کاملا اشتباه است اگر بگوییم که در ریاضیات خالص ، اندیشه ، تنها با آفرینش‌ها و گمان‌های خود سروکار دارد. مفهوم‌های عدد و شکل ، از جایی جز از جهان واقعی گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمرد، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیزی هست جز محصولی که مخلوق خود فکر باشد.

برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آنها را بشماریم، بلکه باید این آمادگی را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری بجز شمار را از آن جدا کنیم و این آمادگی هم در نتیجه پیشرفت تاریخی طولانی ، که به آزمایش متکی باشد، بدست می‌آید. مفهوم شکل هم ، مانند مفهوم عدد ، تنها از دنیای خارج بدست آمده است و در مغز و از اندیشه خالص پدید نیامده است. پیش از این که بتوان به مفهوم شکل رسید، باید چیزهایی با شکل معین موجود باشد و این شکل‌ها نیز با یکدیگر مقایسه شده باشد. موضوع ریاضیات ، عبارت است از شکل‌های فضایی و رابطه‌های کمی دنیای واقع ؛ یعنی موضوع آن ، از مصالح واقعی درست شده است.
ویژگیها و درون‌مایه ریاضیات

1. ریاضیات بازتاب‌کننده واقعیت است و تاکید می‌کند که ریاضیات از نیازهای عملی مردم بوجود آمده و نخستین مفهوم‌ها و کاربردهای آن در نتیجه پیشرفت تاریخی طولانی که متکی بر آزمایش است بدست آمده است و ما این مطلب را بطور گسترده‌تری روی نمونه حساب و هندسه دنبال کرده‌ایم. ما بویژه پذیرفته‌ایم که مفهوم عدد ، کمیت و شکل هندسی ، به همین ترتیب بوجود آمده است و این مفهوم‌ها رابطه‌های کمی واقعی و شکل‌های فضایی واقعیت را بازتاب می‌دهند.
2. موضوع ریاضیات ، مصالح معین کاملا واقعی است، ولی ریاضیات این مصالح را جدا از محتوای مشخص و ویژگی‌های کیفی آنها بررسی می‌کند. و در همین جاست که ریاضیات از دانش‌های طبیعی جدا می‌شود.
3. ویژگی‌ اساسی ریاضیات عبارت‌اند از "زبان فرمولی" ویژه ریاضی ، گسترش کاربرد آن ، و این نتیجه‌گیری ریاضی ، جدا از آزمایش بدست می‌آید و سرانجام ویژگی الزامی و متقاعدکننده بودن این نتیجه‌گیری‌ها. اگر مفهوم عدد را ، از جنبه مشخص آن جدا کنیم و عددهای درست را بطور کلی و صرف نظر از رابطه‌هایی که با این و یا آن مجموعه مشخص دارد بررسی کنیم، به خودی‌خود روشن است که نخواهیم توانست درباره چنین عددهای انتزاعی ، آزمایش کنیم. اگر در این سطح انتزاعی بمانیم و به چیزهای مشخص برنگردیم، تنها از روش استدلال ، استدلالی که از خود مفهوم عدد سرچشمه می‌گیرد، می‌توان به نتیجه‌های تازه‌ای درباره عددها رسید. البته هم نتیجه‌گیریها دیگر ریاضیات هم به همین ترتیب‌اند.
4. بویژه ، مشخص بودن مفهوم‌های ریاضیات همراه با منطق (منطقی که همه جا با کارایی خود را نشان می‌دهد)، این ویژگی را برای ریاضیات بوجود آورده است که نتیجه‌گیریهای آن متقاعدکننده است و ضرورت منطقی دارد. همین ضروری بودن نتیجه‌گیریهای ریاضی است که زمینه را برای این تصور اشتباه فراهم آورده است که گویا پایه ریاضیات بر تفکر خالص گذاشته شده است و گویا ریاضیات علمی حضوری است و از آزمایش بدست نیامده است و گویا واقعیت‌ها را بازتاب نمی‌دهد. این مطالب که ریاضیات حضوری نیست، بلکه متکی بر آزمایش است، واقعیتی انکارناپذیر است. نه تنها خود مفهوم‌های ریاضیات ، بلکه نتیجه‌ها و روش‌های آن هم بازتابی از واقعیت است.
5. انتزاع کامل موضوع ریاضی از هر چیز مشخص ، و عقلانی و ذهنی بودن نتیجه‌گیریهای آن ، که بر پایه این انتزاع قرار دارد، ویژگی مهم دیگری از ریاضیات را بدنبال خود می‌آورد: در ریاضیات ، نه تنها آنگونه رابطه‌های کمی و شکل‌های فضایی که به طور مستقیم "از واقعیت جدا شده است" بررسی می‌شود، بلکه آن رابطه‌ها و شکل‌هایی هم که در داخل خود ریاضیات و بر پایه اجتماع مفهوم‌ها و نظریه‌های ریاضی معین شده است، مورد بررسی قرار می‌گیرد.
6. از ویژگی‌های آخرین دوره پیشرفت ریاضیات ، نه تنها این است که انتزاع‌های آن در درجه‌های بالاتری قرار گرفته است، بلکه این هم هست که موضوع آن بطور اساسی گسترش پیدا کرده است و از چارچوب مفهوم‌های مقدماتی رابطه‌های کمی و شکل‌های فضایی خارج شده است. البته شکل‌های مربوط به فضاهای چندبعدی و بی‌نهایت بعدی ، آنگونه که از شکل‌های فضای واقعی معمولی (و نه از فضای انتزاعی ریاضی) می‌فهمیم شکل‌های فضایی عادی نیستند. این فضاها معنا و مفهوم واقعی دارند و شکل‌های مشخصی از واقعیت را بصورت انتزاعی بازتاب می‌دهند، ولی تنها شباهتی با شکل‌های فضایی دارند و به همین علت در مقایسه با فضای واقعی می‌توان آنها را "شبه فضا" نامید.

نظر انگلس درباره ریاضیات

"داروی درباره ریاضیات عمیق و پرمایه است و تا چه حد می‌توان آن را گسترش داد". با وجود اینکه انگلس ، ریاضیدان نبود. تحزیه و تحلیل عمیقی از پایه‌های این دانش می‌کند، نه تنها به این علت است که او یک متفکر نابغه بود، بلکه مهم‌تر از همه به این علت است که به ماتریالیسم دیالتیک چیره بود و آن را برای روشن کردن ماهیت ریاضیات ، راهنمای خود قرار می‌داد. بنابراین نباید در شگفت بود که پیش از او هیچ کس نتوانست یک چنین راه‌حل عمیق و درستی از این مساله ارائه دهد. بزرگترین ریاضیدانان هم نمی‌توانستند در یک چنین حجم فشرده‌ای به این موفقیت برسند.
اهمیت ماتریالیسم دیالتیک

اهمیت و نیروی ماتریالیسم دیالتیک نشان می‌دهد که برای چیرگی بر یک دانش کافی نیست خدمتگزار خلاقی برای آن باشیم، بلکه علاوه بر اینها ، لازم است به روش کلی و درست استدلال ، یعنی به ماتریالیسم دیالتیک ، چیره باشیم. بدون این چیرگی ، نتیجه‌گیریهای دانش یا بصورت یک توده بی‌شکل به نظر می‌رسد و یا بطور کلی از شکل می‌افتد و به جای این که درک درستی از دانش بدست بیاوریم، دچار تصورهای اشتباه ماورای طبیعی و ذهنی درباره آن می‌شویم. بسیاری از ریاضی‌دانانی که با این روش استدلال آشنا نیستند یا اصولا نمی‌توانند در مساله‌های عمومی مربوط به دانش خودشان ، جهت‌یابی کنند و با این مساله‌ها را به کلی نادرست بیان می‌کنند.