ریاضی و مباحث مرتبط

[ROJINAjoON]

مکان هندسی

مکان هندسی مجموعه نقطه هایی از صفحه یا فضا است که داراس ویژگی مشترکی باشند. به عبارت دیگر هر نقطه در این مجموعه دارای این ویژگی است و هر نقطه که این ویژگی را داشته باشد عضوی از این مجموعه است.

به این ترتیب با تعریف این مفهوم میتوان تعاریف را ساده تر بیان نمود.
به عنوان مثال می توان دایره را چنین تعریف کرد:
مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک نقطه ثابت به نام مرکز به یک فاصله میباشند دایره می گوییم. در این تعریف مشاهدی می شود هر نقطه عضو این مکان هندسی از یک نقطه ثابت(مرکز دایره) به یک فاصله معین است . هر نقطه که از این نقطه ثابت به فاصله معین گفته شده باشد عضو این مکان هندسی است.
فایده دیگر این نوع تعریفات این است که با استفاده از آنها می توان به سادگی برای اشکال هندسی معادله نوشت.
به عنوان مثال با توجه به تعریف دایره می توان معادله آن را چنین نوشت:

که در آن a طول و b عرض مزکز دایره است و R شعاع دایره است.


برای مشخص کردن مکان هندسی می توان به این صورت عمل کرد:

1- به اندازه کافی نقطه هاای را که در ویژگی داده شده صدق می کنند پیدا کنید.
2- آن نقطه ها را به همدیگر وصل کنید تا تصریری شهودی از مکان هندسی مورد نظر بیابید.
3- مکان هندسی را توصیف کنید. سپس بررسی کنید که آیا هر نقطه در مجموعه نقطه هایی که یا فته اید در ویژگی داده شده صدق می کند و بلعکس، آیا هر نقطه که در این ویژگی صدق می کند در مجموعه ای که یا فت کرده اید قرار دارد یا نه؟

[ROJINAjoON]

هندسه اقلیدسی

هندسه چيست؟

واژه هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.
اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)،فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريهمهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافيبه مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي ازتاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر درهندسه به شمار مي رود.

اهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (سمت چپ) (1902-1994) عبارتنداز:
1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون درتيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار رافراهم کرده بود)؛
2- بازسازي کل رياضيات؛
3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالودههاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عملميشود).

روشاقليدس در کتاب «اصول»

روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس دراين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند. كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده و چند حكم را كه بي نياز بهتوجيه و پذيرفتني بودند، دست چين كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتيجه گرفت كه بسياري ازآنها پيچيده بودند و به طور شهودي، بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. يك دليل بر زيبايي «اصول» اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجهگرفته است.

مفاهيم اوليه هندسه

اقليدس همه سعي خود را کرد که تمامي اصطلاحات هندسي را تعريف کند. اما اين کار به فهميدن بيشتر کمک نمي کند و دور يا تسلسل لازم مي آيد (دور در تعريف، دور بي خطري نيست). مثلا سعي مي کند خط مستقيم را اين گونه تعريف کند: خطي که به نحوي هموار بر نقاطي که بر آن هستند، قرار داشته باشد. اين تعريف خوبي نيست چون بايد براي فهميدن آن، قبلا تصوري از خط داشته باشيد؛ پس يک سري اصطلاحات

بعنوان اصطلاحات تعريف نشده درنظر گرفته مي شوند:
نقطه
خط
قرار دارند بر
ميان (مثلا نقطه A ميان دو نقطه ديگر است) و
قابليت انطباق.

فراهم آوردن اين ليست از کارهاي هيلبرت است.
از زمان اقليدس رسم بر اين بود که هندسه به صورت دستگاهي اصل موضوعي و منسجممورد مطالعه قرار گيرد. رياضيدانان جديد نيز که به گسترش جنبه هاي ديگر پرداختند ازاين روش تبعيت مي کردند؛ به طوري که صورت بندي «اقليدس» ازهندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاي فكري بود و پنداشته ميشد كه نظام اقليدسيگانه نظامي است كه امكان پذير است. اين نظام بي چون و چرا توصيفي درست از جهانانگاشته ميشد. هندسه اقليدسي مدلي براي ساختار نظريه هاي علمي بود و نيوتن و ديگردانشمندان از آن پيروي مي كردند.
فضاي هندسه اقليدسي
هندسهاقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد كه هيچ گونه خميدگي و انحنا ندارد. به عبارت ديگر، هندسه اقليدسي براي دستگاهي مشتمل بر خطهايراست در يك صفحه طرح ريزي شده است اما در عالم واقع يك چنين خطهاي راستي وجودندارد. بر خلاف هندسه اقليدسي، نظام هندسيلباچفسكي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند (در پستهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد).

اصول هندسه اقليدسي

نظام قياسي هندسه اقليدسي مبتني بر پنج اصل موضوع، پنجاصل متعارفي و چند برابر آنها اصول موضوعه و متعارفي تعريف نشده و همچنين برخي تعاريفبود وقضاياي هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات ميشوند. اين اصول موضوع عبارتند از:
1- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي توان خطي راستکشيد.
2- هر خط راست محدود را مي توان به طور نامحدود و به صورت خط راست ادامهداد.
3- هر نقطه اي و هر طولي داده شوند، مي توان دايره اي کشيد که آن نقطه مرکزشو آن طول شعاعش باشند. يا به عبارت ديگر، مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
4- همه زواياي قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطي راست دوخط راست ديگر را قطع کند، چنان که مجموع دو زاويه که در يک طرف آن تشکيل مي شوند ازدو قائمه کمتر باشد، چون دو خط راست را به اندازه کافي امتداد دهيم، سر انجام در همان طرفي که مجموع زوايا کمتر از دو قائمه است، يکديگر را قطع مي کنند (بيان خود اقليدس).
صورت ديگر اصل موضوعه پنجم اقليدس به اين شکل بيان مي شود: «به ازاي هر خط و نقطه اي خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خطمفروض مي تواند از آن نقطه عبور كند».

معادلهاي اصل پنجم اقليدس:

(الف) اگر يک خط، دو خط موازي را قطع کند، همه زواياي حاده بوجود آمده با هم و همه زواياي منفرجه به وجود آمده با هم مساوي اند.
(ب) مجموع زواياي داخلي يک مثلث 180 درجه است.
(پ) اگر خطي يک خط موازي را قطع کند، ديگري را هم قطع مي کند.
(ت) هرگاه خطي بر يک خط موازي عمود شود، بر ديگري نيز عمود مي شود.
(ث) هرگاه k و l دو خط موازي باشند و m بر k عمود باشد و n برl عمود باشد آنگاه يا m=n يا m با n موازي است.

[ROJINAjoON]

ضرب داخلی

در ریاضیاتفضایضرب داخلی یک فضای برداری است. ضرب داخلی یا ضرب اسکالر به ما این امکان را میدهد که مفاهیم هندسی از قبیل زاویه و طول یک بردار را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد


تعریف

ضرب داخلی دو بردار uوvرا با

نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار و

یک اسکالر باشدآنگاه:

1.

2.

3.

4.

و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
1. در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید:

2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:

به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:

نرم در فضای ضرب داخلی

در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:

در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.


نامساوی کوشی-شوارتز

البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.


محاسبه زاویه بین دو بردار


پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم:

باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.

[ROJINAjoON]

ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.


تعریف

دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را

فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود:

فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند:

در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود:

خصوصیات

خصوصیات هندسی

حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار
ساخته شده است از ضرب سه گانه این
سه بردار حاصل میشود.
اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است. یعنی داریم:

همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد:

ویژگیهای جبری

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد:

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد:

• ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود :

• این ضرب شرکت پذیر نیست. ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند: