ریاضی و مباحث مرتبط

[رزیتا]

ریاضی و مباحث مرتبط




فضای برداری

یک فضای برداری (فضای خطی) متشکل است از:
1.میدان

از اسکالرها
2.یک مجموعه

از اشیا به نام بردار
3.یک عمل جمع برداری برروی

به طوری که به ازای هر

متعلق به

آنگاه

در

وجود داشته باشد و
الف.

ب.

ج.

(که در آن

منحصر به فرد است.)
د.

4.عمل ضرب موسوم به ضرب اسکالر به طوری که به ازای هر

متعلق به

و

متعلق به

عضوی از

باشد وداشته باشیم:
الف.

ب.

ج.

د.

در این صورت گوییم

یک فضای برداری روی میدان

است.

قضیه (1)

فرض کنیم

یک فضای برداری بر روی میدان

باشد در این صورت:
1.

2.

3.اگر

آنگاه

یا

4.

5.

(که در آن

منحصر به فرد است.)

زیر فضا

فرض کنیم

یک فضای برداری بر روی میدان

باشد در این صورت اگر

همراه با دو عمل جمع برداری روی

و ضرب اسکالر تشکیل فضای برداری دهد آنگاه گوییم

زیرفضای برداری

است.

لم

برای اثبات زیر فضای برداری کافی است بخش های زیر ثابت شود:
1.بسته بودن نسبت به جمع برداری
2.وجود بردار صفر در

3.وجود قرینه هر بردار

در

4.بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر

قضیه (2)

یک زیر مجموعه غیرتهی

از

زیرفضاست اگر و فقط:

قضیه (3)

فرض کنیم

یک فضای برداری بر روی میدان

باشد دراین صورت اشتراک هر دسته دلخواه (نامتناهی) از زیرفضاهای

زیرفضاست.