مسائل حل نشده دنیای ریاضی

[bigbang]

مسئله های باز (حل نشده) دنیای ریاضی- قسمت اول :حدس گلدباخ

مسئله باز به مسئله ای گفته می شود که هنوز حل نشده است. در واقع مسئله باز ترجمه ترکیب open problem است که به نظر ترجمه خوبی است زیرا وقتی مسئله ای هنوز حل نشده است به نوعی پرونده آن هنوز باز است و دانشمندان مشغول کار کردن روی آن هستند. بر خلاف اینکه خیلی ها گمان می برند مسائل مشکل ریاضی لابد باید بسیار ظاهر پیچیده ای داشته باشند باید گفت که همیشه هم اینطور نیست. در زیر به دو مسئله باز ریاضی اشاره میکنیم که هر کدام عمری بسیار طولانی در تاریخ ریاضیات دارند و هنوز هیچ ریاضیدان بزرگ یا کوچکی نتوانسته پرونده این دو مسئله را ببندد. جالب اینکه این دو مسئله را میتوانید برای دانش آموزان سال اول راهنمایی مطرح کنید.قبل از بیان این دو مسئله برای یادآوری شما اعداد اول را تعریف میکنیم.
یادآوری

تعریف: عدد طبیعی n را یک عدد اول گوییم هرگاه نتوان n را به صورت حاصلضرب دو عدد طبیعی غیر از یک نوشت. مثلن اعداد زیر همگی اعداد اول هستند :
2،3،5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47
برای یادآوری میگوییم که اعداد اول پایان ناپذیر هستند یعنی بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

حال به بیان دو مسئله باز مورد اشاره می پردازیم.
مسئله اول حدس گلدباخ

حدس گلد باخ : هر عدد زوج بزرگتر از دو را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نمایش داد.
مثال ۲+۲=۴
۳+۳=۶
۵+۳=۸
۷+۳=۱۰
۷+۵=۱۲
۱۱+۳=۱۴
.......
۱۹+۳۱=۵۰
......
۱۱+۵۹ = ۷۰
....
البته واضح است که نمایش فوق ممکن است یکتا نباشد مثلن برای عدد زوج ۲۴ داریم
۵+۱۹=۲۴
۷+۱۷=۲۴
۱۱+۱۳=۲۴
حدس گلدباخ در سال ۱۷۴۲ میلادی توسط گلدباخ ریاضیدان نه چندان معروف بیان شد و تا به امروز کسی قادر به اثبات یا رد این حدس نبوده است. جالب اینکه با کامپیوتر های توانا در محاسبات تا مقادیر بزرگ این حدس چک شده است و درست می باشد ولی همه میدانیم که هیچ تضمینی برای درست بودن این حدس نیست.هرچند در سالهای اخیر پیشرفت های زیادی در حل این مسئله شده است اما تا سال 2000 میلادی این مسئله برای حل خود جایزه ای یک میلیون دلاری را به حریفان نشان می داد.

[bigbang]

قبل از بیان مسئله دوم تعریف کوچک قشنگی ارائه میدهیم.

تعریف : دو عدد اول m و n را دو عدد اول دو قلو گوییم هرگاه m و n دو عدد فرد متوالی باشند که هر دو اول هستند. مثلن 3 و 5 دو قلوی اول هستند.5 و 7 دو قلوی اول هستند. 7 و 11 دو قلوی اول نیستند زیرا 9 عدد فردی است که اول نیست و بین 7 و 11 قرار دارد. 11 و 13 دو قلوی اول هستند.

حدس اعداد اول دوقلوی نامتناهی : اعداد اول دو قلو بی پایان هستند. یعنی شما هر چقدر بخواهید میتوانید دو تایی های دوقلوی اول داشته باشید.

این حدس نیز علی رغم سادگی سالیان زیادی است که بدون اثبات یا رد پرونده اش باز است. تاریخ دقیق این حدس را نمیدانم اما آنگونه که از شواهد و قرائن بر می آید خیلی بیشتر از صد و شصت سال قدمت این مسئله است.

جالب اینکه این حدس را نیز با کامپیوتر های توانا تا ارقام بزرگ چک کرده اند و درست بوده است. بهتر است بدانید در سال 2005 ریاضیدانان توانستند دوقلوی های اولی بیابند که 58711 رقمی هستند. در سال 2007 دوقلو های اول 100355 رقمی کشف شدند. در سال 2009 کار از این نیز بالاتر گرفت و دوقلو های اول دارای 200700 رقم کشف شدند. این کشف ها پیشرفت در علم ریاضی و کامپیوتر و الگوریتم را نشان می دهند(یعنی هر دو سال تعداد رقم ها دو برابر شده است). زوج دو قلوی دویست هزار و هفتصد رقمی را در زیر می بینید:

1+2666669*3756801695685
1-2666669*3756801695685

ما ریاضیدانان را قبول داریم و حرفشان برایمان سند است ولی شما اگر شک دارید خودتان تحقیق کنید.به وضوح دو عدد فوق دو عدد فرد متوالی هستند. نشان دادن اینکه این دو عدد اول هستند و دارای دویست هزار و هفتصد رقم هستند با خودتان

[bigbang]

ثلیث زاویه :



تثلیث زاویه از مسائل قدیمی و حل ناشده ریاضی است.

بزرگان ریاضی در طی دوران براحتی می‌توانستند با کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولی در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند. بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید.

با آشنایی در حد مثلثات دبیرستانی می‌شود ثابت کرد این مسئله ‌که جزء مسئله‌های طرح شده در شاخه ساختمان‌های هندسی است با کمک پرگار و ستاره (خط‌کش غیر مدرج) قابل حل نیست. ولی با حل یک معادله درجه ۳ ساده می‌توانیم دریابیم که بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث است، از جمله زاویه‌های ۹۰ درجه یا ۴۵ درجه؛ و بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث نیست، از جمله زاویهٔ ۶۰ درجه. بنابراین، زاویهٔ ۶۰ درجه را نمی‌توان، به کمک پرگار و خط‌کش، به سه بخش برابر تقسیم کرد.

تثلیث زاویه، به همراه تربیع دایره، تضعیف مکعب و چندضلعیهای منتظم محاط در دایره از مسائل سه‌گانه عهد باستان است طی قرن‌ها حل نشده باقی‌مانده بود.

با وجود اثبات امکان ناپذیری حل این مسئله و مسئله‌های مشابه با استفاده از ستاره و پرگار، عده‌ای تلاش می‌کنند این مسائل را حل کنند. در اصطلاح ریاضی‌کاران ایرانی، این عده نوابیغ نامیده می‌شوند. اگر چه زاویه دلخواه را نمی‌توان با ابزارهای اقلیدسی دقیقا تثلیث نمود ولی ترسیمهایی با این ابزار وجود دارند که تثلیثهای بسیار خوبی را بدست می‌دهند مانند ترسیم حکّاک و نقّاش معروف آلبرشت دورر (Albercht Durer ) زاویه مفروض AOB را به عنوان یک زاویه مرکزی یک دایره در نظر بگیرید فرض کنید C آن نقطه تثلیث وتر AB باشد که به B نزدیکتر است در c عمود برAB را خارج می کنیم تا دایره را در D قطع کند به مرکز B و به شعاع BD قوسی رسم می کنیم را AB را در E قطع کند فرض کنید که F آن نقطه تثلیث EC باشد که به E نزدیک تر است دو باره به مرکز B به شعاع BF قوسی رسم می کنیم که دایره را در G قطع کند آنگاه OG یک خط تثلیث کننده تقریبی AOB است خطا در این روش با افزایش زاویه افزایش می‌یابد ولی برای زاویه 60 درجه حدود یک شستم زاویه (ثانیه ) است

[bigbang]

تربیع دایره :


تربیع دایره یکی از مسائل قدیمی ریاضیات است. هدف آن رسم کردن مربعی است که مساحت آن برابر با مساحت دایره‌ای داده شده، فقط با استفاده از ستاره و پرگار، باشد.تلاش در حل این مساله که ناممکن بودن آن اثبات شده، یکی از عرصه‌های اصلی فعالیت نوابیغ است.


تضعیف مکعب :


تضعیف مکعب از مسائل باستانی ریاضیات است. یونانیان و قبل از آن‌ها هندیان این مسئله را می‌شناختند. صورت مسئله این است:

«فقط با به‌کار بردن ستاره و پرگار، مکعبی بسازید که حجم آن دوبرابر حجم مکعبی داده شده باشد.»

ثابت شده است که این مسئله جوابی ندارد[نیازمند منبع].

این مسئله به همراه تثلیث زاویه و تربیع دایره از مسائل مورد توجه نوابیغ بوده است.