ولگرد تصادفی (Random Walker) چیست؟

[رزیتا]

ولگرد تصادفی (Random Walker) چیست؟

تعجب نکنید! این یک نوشته اجتماعی در مورد اوقات فراغت دانش آموزان نیست! بلکه در این نوشته می‌خواهیم شما را با یک بخش کوچک اما مهم از علم فیزیک آشنا کنیم.

برای دیدن این بخش شما به نرم افزار جاوا نیاز دارید



ولگرد تصادفی چیه؟

آدمی را تصور کنید که روی یک خط راست ایستاده و می‌خواهد یک برنامه قدم زدن را شروع کند! اما از آنجایی که این آدم هدف خاصی برای رفتن به جایی ندارد برای انتخاب مسیر از این روش استفاده می‌کند: یک سکه را می‌اندازد اگر سکه رو آمد به سمت راست و اگر سکه پشت آمد به سمت چپ یک قدم بر می‌دارد و بعد می‌ایستد برای برداشتن قدم بعدی باز همین کار را تکرار می‌کند دوباره سکه می‌اندازد و هر سمتی که سکه گفت حرکت می‌کند.

اینجا را ببینید.


اما حالا چرا چنین موجود بیکاری برای ما جالب شده و علاقه مند شدیم که بررسیش کنیم؟
دو جواب برای سوال بالا وجود دارد :
اول به خاطر حرکت کاتوره ای( نا منظم) جالبی که از خودش نشان می دهد و دوم اینکه در بسیاری از پدیده های طبیعی ما با یک چنین مدلی مواجه می‌شویم و در اصل همین رفتار تصادفی جهت حرکت و دینامیک سیستم را تعیین می‌کند.
مهم ترین مثال، "حرکت براونی" است می‌دانید حرکت براونی چیست؟ براون یک زیست شناس بود که در طی آزمایشاتش با پدیده جالبی برخورد می‌کند. او متوجه شد که اگر یک تخم چمن را در مایعی مثلا آب قرار دهیم و با دقت به آن نگاه کنیم ( احیاناً با میکروسکوپ ) می‌بینیم که این تخم چمن ساکن نشده بلکه به صورت کاملا محسوسی در محیط مایع حرکتهای ریزی انجام می‌دهد و دائما جابجا می‌شود! انگار موجودات نامرئی در هر لحظه این تخم چمن را به سمتی می‌کشند اما چون این حرکتها کاملا نامنظم و در یک جهت نیستند جابجایی تخم چمن بدون دقت یا بدون میکروسکوپ قابل دیدن نیست. شما چه فکر می‌کنید؟ چرا تخم چمن دائماً وول می‌خورد؟

این سوالی بود که آلبرت اینشتین در رساله دکتری خودش در سال 1905 به بررسی آن پرداخت و پس از حل این سئوال جواب را در قالب یکی از 3 مقاله مشهورش چاپ کرد. ( دو مقاله دیگر یکی در مورد اثر فتو الکتریک بود که بعدا به خاطر آن به اینشتین جایزه نوبل داده شد و دومی در مورد نسبیت خاص بود که همه اینشتین را با همین مسئله می‌شناسند. پس می‌بینید که موضوع ولگرد تصادفی یا حرکت بروانی چقدر مهم است. )

برگردیم سر جواب سوال.... ما الان می‌دانیم که موجودات نامرئی که هر لحظه در یک جهت تصادفی به تخم چمن ضربه می‌زدند چیزی جز ملکول‌های آب نیستند. فرض کنید در یک اتاق نسبتاً بزرگ ایستاده اید و دوستانتان هر کدام به نوبت شما را به یک سمت دلخواه هول می‌دهند. خوب برای شما دقیقاً همان اتفاقی می‌افتد که برای تخم چمن می‌افتد. ما می‌دانیم که ملکول‌های یک مایع دائما در حال جنبش اند و یک لحظه هم در جای خود نمی ایستند. ( این به خاطر دمای مایع است....مثل ما که وقتی گرممان می‌شود دائماً وول می‌خوریم! )
حالا اگر یک موجود خارجی مثلا تخم چمن بین این ملکول‌های پر جنب و جوش قرار بگیرد به خاطر ضربه های کاملا کاتوره ای که وارد می‌شود دائماً جابجا خواهد شد اما به این دلیل که ضربه‌ها با احتمال اینکه اندازه ضربه یکسان است در هر جهتی می‌توانند باشند معمولا اثر یکدیگر را خنثی خواهند کرد و بعد از مدتی، جابجایی آنقدر زیاد نیست که بشود با چشم دید. اما قطعا اگر به اندازه کافی صبر کنیم این جابجایی به اندازه کافی بزرگ خواهد شد.

حتما دیده اید که وقتی یک قطره جوهر را می‌اندازیم در آب چه اتفاقی می‌افتد....قطره جوهر شروع به پخش شدن می‌کند. ببینید می‌توانید ربطی بین این پخش شدن و حرکت بروانی پیدا کنید؟ این دقیقا همان کاری بود که اینشتین کرد و دکتری فیزیکش را گرفت! البته کار مهم اینشتین این بود که این مدل را به صورت ریاضی و با محاسبات مربوطه مطرح کرد که ما هم سعی می‌کنیم در نوشته های بعدی این کار را بکنیم.

نمی دانم دقت کرده اید یا نه که در حرکت بروانی ابعاد یا اندازه‌ها بسیار مهم اند..... خودتان را در اتاق به یاد آورید. ....
اگر به جای دوستانتان یک سری توپ به شما برخورد کنند شما جا بجا می‌شوید؟ یا اگر بجای دوستانتان یک سری فیل غول پیکر یا هواپیمای بزرگ به شما برخورد کنند آیا باز هم حرکت براونی داریم؟ جواب هر دو سوال منفی است دلیلش با کمی دقت معلوم می‌شود. در حالت اول اصلا ما حرکت نداریم ( مگر اینکه آدم خیلی شل و ولی باشیم. ) و در حالت دوم دیگر حرکت ما مثل حرکت تخم چمن در آب نیست بلکه مانند حرکت ماهواره است که از روی زمین پرتاب می‌شود!

پس می‌بینیم که انگار اندازه ( یا بهتر بگوئیم جرم ) موجودی که ول می‌چرخد باید تقریبا هم اندازه موجوداتی باشد که ضربات تصادفی می‌زنند. یا کمی بزرگتر یا کوچک تر.
اگر یادتان باشد ما ولگرد تصادفی را در یک مثال یک بعدی ( حرکت روی یک خط ) معرفی کردیم. خیلی راحت می‌شود این را تعمیم داد. فرض کنید که در اتاقی ایستاده ید که کف اتاق موزاییک است. روی یکی از موزییک‌ها می‌ایستید و یک تاس چهار وجهی را می‌اندازید اگر یک آمد راست، اگر دو آمد چپ، اگر سه جلو و اگر چهار عقب می‌روید. به این ترتیب ولگردی خودتان را شروع می‌کنید. می‌شود به سادگی نشان داد که رفتار یک ولگرد تصادفی دو بعدی ( همین مثال ) دقیقا مثل ولگرد یک بعدی است با این فرق کوچک که در محاسباتمان بعضی جاها باید یک ضریب دو اضافه کنیم و در سه بعد( مدل را خودتان بسازید. ) یک ضریب سه وجود دارد و گرنه رفتار کلی پدیده‌ها ( که بیشترشان را در نوشته های بعدی می‌گوئیم ) تفاوتی نمی کنند و این از خواص عجیب ولگرد تصادفی است.

می دانید محاسبات و بررسی این رفتار چه قدر مهم است؟ فکر می‌کنید که قیمت یک کالا در بازار چه گونه بالا و پایین می‌رود؟ ( با فرض ثابت بودن نرخ عرضه و تقاضا و فصلی نبودن مصرف آن کالا ) تغییرات قیمت یک کالا در بازار را می‌شود به خوبی با ولگرد تصادفی مدل کرد...سکه می‌اندازد اگر شیر آمد گران می‌شود و اگر خط آمد ارزان می‌شود....البته قطعا عوامل بسیار زیادی در تعیین قیمت نقش دارند اما موضوع این است که نقش این عوامل مثل نقش مولکولهای آب در مثال تخم چمن یا نقش دوستانتان در مثال خودتان است. یعنی فقط به صورت تصادفی ضربه می‌زنند.


حالا اگر ما بتوانیم مساله ولگرد تصادفی را حل کنیم با پیش بینی خیلی چیزها می‌توانیم خیلی پولدار شویم!